Question

4．如圖，$\widehat{AB}$的度數(shù)為90°，點C、D將$\widehat{AB}$三等分，弦AB與半徑OC、OD交于點E、F，求證：AE=CD=FB．

Answer 1

分析 由∠AOB=90°，D、C將$\widehat{AB}$三等分，得到∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，∠A=∠OBF=45°，可證得△OAE≌△OBF，則AE=BF；由OB=OD，∠3=30°，可求出∠5=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，因此得到BF=BD；所以AE=DC=BF．

解答 解：連BD，如圖
∵∠AOB=90°，D、C將$\widehat{AB}$三等分，
∴∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBF=45°，
∴在△OAE與△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴AE=BF．
又∵OB=OD，∠3=30°，
∴∠5=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，
∴BF=BD．
而CD=DB，AE=BF，
所以AE=DC=BF．

點評 本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形全等的判定與性質(zhì)．