Question

7．如圖，正方形OABC的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為（4，4），E、F分別是OA邊、AB邊上的動點，連接EF．
（1）如圖1，如果OE=AF=1，求直線EF的解析式；
（2）如圖2，折疊正方形OABC，如果A、B兩點同時落在CE上的點O位置，求點G的坐標(biāo)；
（3）如圖3，E、F在運(yùn)動過程中，如果保持∠ECF=45°，探求△AEF的周長是否會發(fā)生改變？若不變，求出它的值；若改變，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形OABC是正方形，點B的坐標(biāo)為（4，4），OE=AF=1，得到點E，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入求解；
（2）由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，BF=GF=AF，CG=BC=4，在直角三角形COE中，由勾股定理列方程求出GE，再由三角形相似得到點G的坐標(biāo)；
（3）在x軸上截取OM=BF，連接CM，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)∠ECF=45°，得到∠MCE=∠MCO+∠OCE=45°，又得到一對全等的三角形，得到線段的關(guān)系，證得△AEF的周長=8是個定值，于是得解．

解答 解：（1）如圖1∵四邊形OABC是正方形，點B的坐標(biāo)為（4，4），
∴OA=AB=4，
∵OE=AF=1，
∴E（1，0），F(xiàn)（4，1），
設(shè)直線EF的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{1=4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式：y=$\frac{1}{3}x$+$\frac{1}{3}$；

（2）如圖2由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，BF=GF=AF，CG=BC=4，
設(shè)AE=GE=x，則OE=4-x，CE=4+x，
∴（4-x）²+4²=（4+x）²，
∴x=1，∴AE=GE=1，
過點G作GH⊥OA于H，
∴GH∥OC，∴$\frac{GH}{OC}$=$\frac{EH}{OE}$=$\frac{EG}{EC}$=$\frac{1}{5}$，
∴GH=$\frac{4}{5}$，EH=$\frac{3}{5}$，
∴OH=$\frac{12}{5}$，
∴G（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$）；

（3）如圖3在x軸上截取OM=BF，連接CM，
在△COM與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=BC}\\{∠MOC=∠B}\\{OM=BF}\end{array}\right.$，
∴△OMC≌△BFC（SAS），
∴CM=CF，∠MCO=∠FCB，
∴∠MCF=FCE=45°，
在△MCE與△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CF}\\{∠MCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△MCE≌△FCE（SAS），
∴ME=EF，
△AEF的周長=AF+EF+AE=ME+AE+AF=AE+OE+AF+BF=8，
∴E、F在運(yùn)動過程中，如果保持∠ECF=45°，△AEF的周長不會發(fā)生改變．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點．