Question

16．已知：如圖所示，拋物線y=-x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0），B（3，0）
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，且滿足條件S_△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可利用交點(diǎn)式求出拋物線解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可設(shè)P（t，-t²+4t-3），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•2•|-t²+4t-3|=1，然后去絕對(duì)值得到兩個(gè)一元二次方程，再解方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線解析式為y=-（x-1）（x-3）=-x²+4x-3；
（2）設(shè)P（t，-t²+4t-3），
因?yàn)镾_△PAB=1，AB=3-1=2，
所以$\frac{1}{2}$•2•|-t²+4t-3|=1，
當(dāng)-t²+4t-3=1時(shí)，t₁=t₂=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；
當(dāng)-t²+4t-3=-1時(shí)，t₁=2+$\sqrt{2}$，t₂=2-$\sqrt{2}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2+$\sqrt{2}$，-1）或（2-$\sqrt{2}$，-1），
所以滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)有3個(gè)，它們是（2，1）或（2+$\sqrt{2}$，-1）或（2-$\sqrt{2}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．