Question

6．如圖，已知：BC為⊙O的直徑，∠ADC=90°，AD與⊙O相切于F．
（1）求證：BC=CE；
（2）若AB=4，CD=6，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）連結OF，如圖，根據切線的性質得OF⊥AD，則可判斷OF∥CD，根據平行線的性質得∠OFB=∠E，加上∠OBF=∠OFB，則∠OBF=∠E，然后根據等腰三角形的判定定理即可得到BC=CE；
（2）設⊙O的半徑為r，則OF=r，BC=2r，證明△AOF∽△ACD，利用相似比得到$\frac{r}{6}$=$\frac{4+r}{4+2r}$，解得r₁=4，r₂=-3（舍去），則AC=12，在Rt△ACD中，利用勾股定理計算出AD=6$\sqrt{3}$，然后根據正弦的定義求解．

解答 （1）證明：連結OF，如圖，
∵AD與⊙O相切于F，
∴OF⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∵∠ADC=90°，
∴OF∥CD，
∴∠OFB=∠E，
而OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠OBF=∠E，
∴BC=CE；
（2）解：設⊙O的半徑為r，則OF=r，BC=2r，
∵OF∥CD，
∴△AOF∽△ACD，
∴$\frac{OF}{CD}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{r}{6}$=$\frac{4+r}{4+2r}$，
整理得r²-r-12=0，解得r₁=4，r₂=-3（舍去），
∴AC=4+2r=12，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{6\sqrt{3}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了相似三角形的判定與性質．