Question

14．如圖，已知拋物線y=ax²-2ax+3（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OB=3OA．
（1）此拋物線的對稱軸為直線x=1；并求出OA的長；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）此二次函數(shù)x軸上方的圖象上有一點E到A、B兩點距離相等，求出△ABE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$，求出對稱軸，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和OB=3OA求出OA的長；
（2）求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)與函數(shù)的關(guān)系求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)題意確定點E的坐標(biāo)求出△ABE的面積．

解答 解：（1）對稱軸為直線x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴對稱軸為直線x=1，
設(shè)OA=m，則OB=3m，
則-m+3m=2，
解得，m=1，
∴OA=1；
（2）∵OA=1，
∴點A（-1，0），
把點A（-1，0）代入y=ax²-2ax+3，
解得a=-1，
拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；
（3）二次函數(shù)圖象上到A、B兩點距離相等點E是拋物線的頂點，
$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=4，
則△ABE的面積為：$\frac{1}{2}$×4×4=8．

點評 本題考查的是拋物線與x軸的交點的求法，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的正確運(yùn)用．