Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=-$\frac{1}{2}$x+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線(xiàn)y=x相交于點(diǎn)C．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖，現(xiàn)將直角∠FCE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)始終保持直角邊CF與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)D，直角邊CE與x軸交于點(diǎn)E．
①在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，$\frac{CD}{CE}$的值是否會(huì)發(fā)生變化？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)值；
②在直角∠FCE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩直線(xiàn)解析式，求方程組的解即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K，則可證明△CHD∽△CKE，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，可求得$\frac{CD}{CE}$的值；
②分△ODE∽△CEF和△ODE∽△CFE兩種情況，當(dāng)△ODE∽△CEF時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)可求得O為EF中點(diǎn)，可求得OF的長(zhǎng)，再證明△CHD∽△FOD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得OD的長(zhǎng)，可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)△ODE∽△CFE時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，利用△CMD≌△CNE可證得OC=OD，則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）聯(lián)立兩直線(xiàn)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（4，4）；
（2）①不變；
如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K，則CH=CK=4，

∵∠1+∠DCK=90°，∠2+∠DCK=90°，
∴∠1=∠2，且∠CHD=∠CKE，
∴△CHD∽△CKE，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{CH}{CK}$=$\frac{4}{4}$=1；
②存在，
1°若△ODE∽△CEF，如圖2，

則∠OED=∠CFE，
∴DF=DE，又OD⊥EF，
∴OF=OE，
∵∠FCE=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△CHO中，由勾股定理得OC=$4\sqrt{2}$，
∴OE=OF=OC=4$\sqrt{2}$，
又CH∥OF，
∴△CHD∽△FOD，
∴$\frac{HD}{OD}$=$\frac{CH}{OF}$，即$\frac{4-OD}{OD}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}}$，
∴OD=8-4$\sqrt{2}$，
∴D（0，8-4$\sqrt{2}$）；
2°若△ODE∽△CFE，如圖3，

則∠CEO=∠OED．
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，
則CM=CN=4．易證△CMD≌△CNE，
∴∠CEO=∠CDM，CD=CE，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，
∴∠CEO=∠OED=∠CDM=22.5°，
∵△CMO為等腰直角三角形，
∴∠COM=45°，
∴∠OCD=∠COM-∠CDM=22.5°，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC，
在Rt△CMO中，由勾股定理得OC=4$\sqrt{2}$，
∴OD=OC=4$\sqrt{2}$，
∴D（0，-4$\sqrt{2}$）；
綜上所述若以C、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ODE相似，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8-4$\sqrt{2}$）或（0，-4$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為相似三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)圖象的交點(diǎn)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論思想等．在（1）中聯(lián)立函數(shù)解析式構(gòu)成方程組是求函數(shù)圖象交點(diǎn)的常用方法，在（2）中利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于OD的方程求得OD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．