Question

12．如圖1，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E、F分別在正方形邊CB、CD上，連接AF，取AF中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD、MN．
（1）連接AE，則△AEF是等腰三角形，MD、MN的數(shù)量關(guān)系是MD=MN．
（2）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，則MD、MN的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．
（3）將圖1中正方形ABCD及直角三角板ECF同時(shí)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖3，其他條件不變，則MD、MN的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出CE=CF，繼而證出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，即△AEF是等腰三角形；依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)，可得到MN與MD的數(shù)量關(guān)系；
（2）連接AE，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出BE=DF，繼而證出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，再依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，可得DM=$\frac{1}{2}$AF，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，可得MN=$\frac{1}{2}$AE，最后得出MN與MD的數(shù)量關(guān)系；
（3）先連接AE，A′F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CE=CF，繼而證出△ADE≌△A′D′F，得到AE=AF，再依據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，可得DM=$\frac{1}{2}$A′F，MN=$\frac{1}{2}$AE，最后得出MN與MD的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵FC=EC，DC=BC，
∴DF=BE，
又∵AB=AD，∠B=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，
又∵M(jìn)、N分別是AF與EF的中點(diǎn)，
∴Rt△ADF中，DM=$\frac{1}{2}$AF，
△AEF中，MN=$\frac{1}{2}$AE，
∴DM=MN，
故答案為：等腰，DM=MN；

（2）MD=MN仍成立，
證明：連接AE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵在Rt△ADF中，點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE，
∴DM=MN；

（3）MD=MN仍成立，理由如下：
連接AE，A′F，
∵CD=CD′，CE=CF，
∴CD-CE=CD′-CF，
即DE=D′F，
又∵AD=A′D′，∠ADE=∠D′，
∴△ADE≌△A′D′F（SAS），
∴AE=A′F，
又∵點(diǎn)D是AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，
∴MN，MD分別為△AEF和△AA′F的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE，DM=$\frac{1}{2}$A′F，
∴MN=DM．

點(diǎn)評 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題需要掌握正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定，綜合性較強(qiáng)，難度較大．解題時(shí)注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線等于第三邊的一半，是得出線段相等數(shù)量關(guān)系的主要依據(jù)．