Question

20．如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=5，BF=8，AD=$\frac{15}{2}$，則?ABCD的面積是36．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明∠BAE=∠BEA，從而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四邊形ABEF是菱形；
（2）過A作AH⊥BE，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的長，進而可得AE長，利用菱形的面積公式計算出AH的長，然后可得?ABCD的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分線交BC于點E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF
∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：過A作AH⊥BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=EO，BO=FO，BE=AB=5，AE⊥BF，
∵BF=8，
∴BO=4，
∴AO=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AE=6，
∴S_菱形ABEF=$\frac{1}{2}$AE•BF=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
∴BE•AH=24，
∴AH=$\frac{24}{5}$，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=$\frac{15}{2}$，
∴S_{平行四邊形ABCD}=$\frac{15}{2}$×$\frac{24}{5}$=36，
故答案為：36．

點評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，以及平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形的面積為對角線之積的一半．