Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+3分別交y軸、x軸于B、A兩點(diǎn)，且△ABO的面積為$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
（1）求直線AB的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度為$\sqrt{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，連接PB，設(shè)d=PB²，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求d與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交射線AB于點(diǎn)Q，連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，使△APQ≌△ABO，并求出此時(shí)的d的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）分兩種情形利用勾股定理計(jì)算即可解決問(wèn)題；
（3）由△APQ≌△ABO可知AP=AB，列出方程求出t，即可解決問(wèn)題；

解答 （1）解：由AB：y=kx+3可得B（0，3）
又因△ABO的面積=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•AO•BO=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•OA•3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
AO=3$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，
∴A（-3$\sqrt{3}$，0）
將A（-3$\sqrt{3}$，0）代入y=kx+3解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3．

（2）由題意可列：第一種情況：OP=OA-AP=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t
∵d=PB²=AO²+BO²=（3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²+3²=3t²-18t+36（0＜t≤3）．
第二種情況：OP=AP-OA=$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$
∵d=PB²=AO²+BO²=（$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$）²+3²=3t²-18t+36（t＞3）．
綜上所述：d與t的函數(shù)關(guān)系式是：d=3t²-18t+36（t＞0）．

（3）∵∠BAO=∠PAO
∠AOB=∠AQP=90°
∴當(dāng)AP=AB時(shí)△APQ≌△ABO，
∵AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=6，
∴，$\sqrt{3}$t=6，解得：t=2$\sqrt{3}$，
∴此時(shí)d=3t²-18t+36=3×（2$\sqrt{3}$）²-18×2$\sqrt{3}$+36=72-36$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．