Question

8．如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠ABC=∠DCB，AB=DC．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）連接AD，判斷AD和BC的位置關(guān)系，并證明之．

Answer 1

分析 （1）利用“SAS”可證明△ABC≌△DCB，則∠ACB=∠DBC，從而得到∠ABE=∠DCE，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ABE≌△DCE；
（2）先利用△ABE≌△DCE得到AE=DE，根據(jù)等腰三角形的判定與三角形內(nèi)角和得到∠EAD=∠EDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AED），∠EBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEC），則利用∠AED=∠BEC得到∠EDA=∠EBC，然后根據(jù)平行線的判定方法可判斷AD∥BC．

解答 （1）證明：在△ABC和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴∠ABE=∠DCE，
在△ABE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DEC}\\{∠ABE=∠DCE}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DCE；
（2）解：AD∥BC．理由如下：
由（1）知，△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AED），
∵∠ABE=∠DCE，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠BEC），
而∠AED=∠BEC，
∴∠EDA=∠EBC，
∴AD∥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．