Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E．
（1）求證：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解決問題；
（2）首先證明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，設BD=x，在Rt△BDC中，BC²=x²+12²，在Rt△ABC中，BC²=（x+16）²-20²，可得x²+12²=（x+16）²-20²，解方程即可解決問題；

解答 （1）證明：連接OD，
∵DE是切線，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A．

（2）連接CD．
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直徑，∠ACB=90°，
∴EC是⊙O的切線，
∴ED=EC，
∴AE=EC，
∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
設BD=x，在Rt△BDC中，BC²=x²+12²，在Rt△ABC中，BC²=（x+16）²-20²，
∴x²+12²=（x+16）²-20²，
解得x=9，
∴BC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15．

點評 本題考查切線的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．