Question

20．如圖，將等邊三角形ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使得BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸正半軸上，已知AB=4，AO=2$\sqrt{3}$，若點(diǎn)D從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D、P均以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中連接PD并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)∠AMD=105°時(shí)，求∠DPC的大小．
（2）當(dāng)△PBM是直角三角形，求出t的值．
（3）在（2）的情況下，連接BD，此時(shí)x軸上存在點(diǎn)N，使得組成△BDN為等腰三角形，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠AMD=∠ABC+∠P，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果；
（2）由已知條件△PBM是直角三角形，得到∠PMB=90°，求得∠MPB=30°，得到∠CDP=∠DPC=30°，于是得到結(jié)論；
（3）由等邊三角形的性質(zhì)得到BO=CO=2，BD=AO=2$\sqrt{3}$，①當(dāng)BD=BN=2$\sqrt{3}$時(shí)，求得N₁（-2-2$\sqrt{3}$，0），N₂（2$\sqrt{3}$-2，0），②當(dāng)BD=DN=2$\sqrt{3}$，解直角三角形求得N₃（4.0），③當(dāng)BN=DN時(shí)，解直角三角形得到N₄（0，0），于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，
∵∠AMD=∠ABC+∠P，
∵∠AMP=105°，
∴∠DPC=45°；

（2）∵△PBM是直角三角形，
∴PM⊥AB，
∴∠PMB=90°，
∴∠MPB=30°，
∴∠DCP=∠DPC+∠CDP，
，∴∠CDP=∠DPC=30°，
∴CD=CP=AD=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴t=2÷0.5=4s；

（3）∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO=2，
∵AD=CD，
∴BD⊥AC，BD=AO=2$\sqrt{3}$，
①當(dāng)BD=BN=2$\sqrt{3}$時(shí)，
∴ON₁=BN₁+OB=2+2$\sqrt{3}$，
ON₂=BN₂-OB=2$\sqrt{3}$-2，
∴N₁（-2-2$\sqrt{3}$，0），N₂（2$\sqrt{3}$-2，0），
②當(dāng)BD=DN=2$\sqrt{3}$，
∵∠DBN₃=∠DN₃B=30°，
∴BN₃=6，
∴ON₃=4，
∴N₃（4.0），
③當(dāng)BN=DN時(shí)，
∴∠DBN₄=∠BDN₄，
∴BN₄=2，
∴ON₄=0，
∴N₄（0，0），
∴x軸上存在點(diǎn)N，使得△BDN為等腰三角形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2-2$\sqrt{3}$，0）、（0，0）、（2$\sqrt{3}$-2，0）、（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，解直角三角形，要根據(jù)N點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．