Question

12．已知：如圖所示，在?ABCD中，過A，C作BD的垂線垂足為A′，C′，過B，D作AC的垂線，垂足為B′，D′（AC，BD不垂直）．
（1）試說明：四邊形A′B′C′D′∽?ABCD；
（2）四邊形A′B′C′D′與?ABCD是不是位似圖形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠AA’D=∠AD’D=90°，得到A、D’、A’、D四點(diǎn)共圓，證明OAD∽△OA’D’，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{CD}{C′D′}$，∠ADC=∠A’D’C’，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行進(jìn)行判斷即可．

解答 證明：（1）∵∠AA’D=∠AD’D=90°，
∴A、D’、A’、D四點(diǎn)共圓，
∴∠DAA’=∠DD’A’，
∵∠ODA=90°-∠DAA’，∠OD’A’=90°-∠DD’A（直角三角形的銳角互補(bǔ)）
所以：∠ODA=∠OD’A’，
∴OAD∽△OA’D’，
∴$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{OD}{OD′}$，∠OAD=∠OA’D′，
同理可證：$\frac{CD}{A′B′}$=$\frac{OD}{OB′}$，∠ODC=∠OB’A’，
∵C’D’=A’B’，OB’=OD’，
∴$\frac{CD}{C′D′}$=$\frac{OD}{OD′}$，
∴$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{CD}{C′D′}$，
同理可證：∠OD’C′=∠OBA，
∵AB∥CD，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠OD’C=∠ODC，
∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=∠OD’A+∠OD’C=∠A’D’C’，
∴平行四邊形ABCD∽平行四邊形A’B’C’D’相似；
（2）∵AD與A′D′不平行，
∴四邊形A′B′C′D′與?ABCD不是位似圖形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是位似變換和相似三角形的性質(zhì)，掌握位似變換的概念和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．