Question

5．已知如圖1，在邊長為4的正方形PQRS中，點M為邊PQ中點，點N在邊QR上且QN=3，如圖2，以△ABC的三邊為邊長分別向三角形外側(cè)作正方形ABED，BCGF，CAIH．連結(jié)EF，GH，DI．若正方形ABED，BCGF，CAIH的面積分別為20，17，13．
（1）求△MNS的面積；
（2）求證：△ABC≌MSN；
（3）求△ABC的BC邊上的高； 
（4）求六邊形DEFGHI的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形面積公式，利用S_△MNS=S_{正方形PQRS}-S_△PSM-S_△QMN-S_△SNR進行計算即可；
（2）利用勾股定理分別計算出SM=2$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{13}$，SN=$\sqrt{17}$，再利用正方形的面積公式得到AB=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{13}$，BC=$\sqrt{17}$，則AB=MS，BC=MN，AC=SN，于是可根據(jù)“SSS”判斷△ABC≌△MSN；
（3）作AA′⊥BC于A′，如圖2，利用△ABC≌△MSN得到S_△ABC=S_△MSN=7，然后根據(jù)三角形面積公式可計算出AA′；
（4）作HH′⊥CG于H′，如圖2，先證明△ACA′≌△HCH′得到AA′=HH′，則根據(jù)三角形面積公式得到S_△ABC=S_△HCG=7，同理可S_△ABC=S_△BEF=S_△ADI=7，然后把三個正方形的面積和三個三角形的面積相加即可得到六邊形DEFGHI的面積．

解答 （1）解：S_△MNS=S_{正方形PQRS}-S_△PSM-S_△QMN-S_△SNR=4×4-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×4=7；
（2）證明：SM=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，SN=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵正方形ABED，BCGF，CAIH的面積分別為20，17，13，
∴AB=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{13}$，BC=$\sqrt{17}$，
∴AB=MS，BC=MN，AC=SN，
在△ABC和△MSN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=MS}\\{AC=MN}\\{BC=NS}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△MSN；
（3）解：作AA′⊥BC于A′，如圖2，
∵△ABC≌△MSN，
∴S_△ABC=S_△MSN=7
∴$\frac{1}{2}$BC•AA′=7，即$\frac{1}{2}$×$\sqrt{13}$×AA′=7，解得AA′=$\frac{14\sqrt{13}}{13}$，
即△ABC的BC邊上的高為$\frac{14\sqrt{13}}{13}$；
（4）解：作HH′⊥CG于H′，如圖2，
∵∠BCG=90°，
∴∠ACB+∠ACH′=90°，
∵∠ACH=90°，
∴∠ACH′+∠HCH′=90°，
∴∠ACB=∠HCH′，
在△ACA′和△HCH′中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AA′C=∠HH′C}\\{∠ACA′=∠HCH′}\\{AC=HC}\end{array}\right.$，
∴△ACA′≌△HCH′，
∴AA′=HH′，
而BC=GC，
∴S_△ABC=S_△HCG=7，
同理可S_△ABC=S_△BEF=S_△ADI=7，
∴六邊形DEFGHI的面積=3×7+20+13+17=71．

點評 本題考查了面積及等積變換：熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會利用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積；靈活運用三角形的面積公式．（4）中證明AA′=HH′得到S_△ABC=S_△HCG是解決問題的難點．