Question

11．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠CAB=∠ACB，過點(diǎn)B作BE⊥AB交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若AB=14，cos∠CAB=$\frac{7}{8}$，求線段OE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠CAB=∠ACB利用等角對等邊得到AB=CB，從而判定平行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直即可證得結(jié)論；
（2）分別在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，從而利用OE=AE-AO求解即可．

解答 解：（1）∵∠CAB=∠ACB，
∴AB=CB，
∴?ABCD是菱形．
∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{7}{8}$，AB=14，
∴AO=14×$\frac{7}{8}$=$\frac{49}{4}$，
在Rt△ABE中，cos∠EAB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{7}{8}$，AB=14，
∴AE=$\frac{8}{7}$AB=16，
∴OE=AE-AO=16-$\frac{49}{4}$=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形及菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊變形的判定與性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，選擇合適的邊角關(guān)系，難度不大．