Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸的正半軸．拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AC，BD，CD．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和四邊形ABDC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可求得B、C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得b、c的值，則可求得拋物線的解析式；
（2）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，再由S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD可求得四邊形ABDC的面積．

解答 解：
（1）∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，
∴OC=BC=AB=OA=4，
∴C（0，4），B（4，4），
∵拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-8+4b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+4；
（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+4=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+6，
∴D（2，6），
∴D到BC的距離為6-4=2，
∴S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4×2=12．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)．在（1）中確定出B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中把四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．