Question

1．如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓分別交AD、BC于F、G，延長(zhǎng)BA交圓于E．
（1）求證：EF=FG；
（2）當(dāng)∠ADC為多少度時(shí)，四邊形GCDF能成為平行四邊形？為什么？

Answer 1

分析 （1）連接AG，由AB=AG，推出∠ABG=∠AGB，根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠EAF=∠ABG，∠FAG=∠AGB，推出∠EAF=∠FAG即可；
（2）證明△ABG和△AFG是等邊三角形，得出AF=BG，證出DF=CG，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AG，
∵A為圓心，
∴AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠DAG，∠EAD=∠ABG，
∴∠DAG=∠EAD，
∴$\widehat{EF}=\widehat{FG}$，
∴EF=FG．
（2）解：當(dāng)∠ADC為60°時(shí)，四邊形GCDF能成為平行四邊形；理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠D=60°，
∴∠B=60°，∠BAD=120°，AD=BC，AD∥BC，
∵AB=AG，
∴△ABG是等邊三角形，
∴∠BAG=60°，BG=AG，
∴∠DAG=120°-60°=60°，
∵AG=AF，
∴△AFG是等邊三角形，
∴AF=AG，
∴AF=BG，
∴DF=CG，
又∵DF∥CG，
∴四邊形GCDF為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形性質(zhì)與判定，平行線性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解決問題的關(guān)鍵．