Question

13．若y=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x-\frac{1}{2}}$的最大值為a，最小值為b，則a²+b²的值為（　　）

• A． 1
• B． 1.5
• C． 2
• D． 2.5

Answer 1

分析 首先根據(jù)二次根式有意義得1-x≥0，且x-$\frac{1}{2}$≥0，從而得到$\frac{1}{2}$≤x≤1．然后等式兩邊分別平方后得到y(tǒng)²=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-（x-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{16}}$，得到當(dāng)x=$\frac{3}{4}$時(shí)，y²取到最大值1，故a=1．當(dāng)x=$\frac{1}{2}$或1時(shí)，y²取到最小值$\frac{1}{2}$，故b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而求得代數(shù)式的值．

解答 解：由1-x≥0，且x-$\frac{1}{2}$≥0，得$\frac{1}{2}$≤x≤1．
y2=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{-（x-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{16}}$．
由于$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{4}$＜1，
所以當(dāng)x=$\frac{3}{4}$時(shí)，y²取到最大值1，故a=1．
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$或1時(shí)，y²取到最小值$\frac{1}{2}$，故b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以：a²+b²=$\frac{3}{2}$=1.5．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了無(wú)理函數(shù)的最值，特別是確定自變量的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵，將題目中的等式兩邊平方是解決無(wú)理函數(shù)的一種重要方法，難度偏大．