Question

4．如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B的切線交OP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）求證：△PBC是等腰三角形；
（2）若⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，OP=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由BC是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA+∠ABC=90°，由垂直的定義得到∠OPA+∠A=90°，等量代換得到∠A=∠OBA，∠ABC=∠OPA=∠CPB，進(jìn)一步得到結(jié)果．
（2）設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到（$\sqrt{5}$）²+x²=（x+1）²，然后解方程即可．

解答 （1）證明：
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBA+∠ABC=90°．
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A=90°．
又∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA．
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB，
∴CP=CB；
∴△PBC是等腰三角形；
（2）解：設(shè)BC=x，則PC=x，
在Rt△OBC中，OB=$\sqrt{5}$，OC=CP+OP=x+1，
∵OB²+BC²=OC²，
∴（$\sqrt{5}$）²+x²=（x+1）²，
解得x=2，
即BC的長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考點(diǎn)較多，難度適中．