Question

9．如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），O（0，0），B（-4，0），C（-4，3）動(dòng)點(diǎn)F在BC上（不與B、C重合）過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與邊AB交于點(diǎn)E，直線(xiàn)EF分別與y軸和x軸相交于點(diǎn)D，G
（1）若k=-4，求△OEF的面積；
（2）若k=-$\frac{21}{8}$，試說(shuō)明點(diǎn)C關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上；
（3）證明：若DE•EG=$\frac{25}{12}$，則k=-1．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得E、F的坐標(biāo)，可求得S_矩形AOBC、S_△AOE、S_△BOF、S_△CEF，由面積的和差可求得△OEF的面積；
（2）可在x軸上找一點(diǎn)N，使EN=EC，再證明NF=CF即可說(shuō)明C和N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；
（3）可設(shè)出E、F的坐標(biāo)，從而可表示出直線(xiàn)EF的解析式，可表示出DE、EG，結(jié)合條件可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求得k的值為-1．

解答 解：（1）∵k=-4，且OA=3，OB=4，
∴E（-$\frac{4}{3}$，3），F(xiàn)（-4，1），
∴AE=$\frac{4}{3}$，BF=1，
∴CE=AC-AE=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，CF=BC-BF=3-1=2．
∴S_△OEF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△CEF
=S_矩形AOBC-$\frac{1}{2}$OA•AE-$\frac{1}{2}$OB•BF-$\frac{1}{2}$CE•CF
=4×3-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=12-2-2-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
即△OEF的面積為$\frac{16}{3}$；
（2）∵k=-$\frac{21}{8}$，
∴E（-$\frac{7}{8}$，3），F(xiàn)（-4，$\frac{21}{32}$），
∴AE=$\frac{7}{8}$，BF=$\frac{21}{32}$，
∴CE=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$，CF=3-$\frac{21}{32}$=$\frac{75}{32}$．
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則EM=3，OM=$\frac{7}{8}$；
在線(xiàn)段BM上取一點(diǎn)N，使得EN=CE=$\frac{25}{8}$，連接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=$\sqrt{E{N}^{2}-E{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴BN=OB-OM-MN=4-$\frac{7}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=$\sqrt{B{N}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9}{4}）^{2}+（\frac{21}{32}）^{2}}$=$\frac{75}{32}$．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直線(xiàn)EF為線(xiàn)段CN的垂直平分線(xiàn)，即點(diǎn)N與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)；
（3）不妨設(shè)k=-12m，則E（-4m，3），F(xiàn)（-4，3m）（其中m為不為1正數(shù)）．
設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=ax+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-4ma+b=3}\\{-4a+b=3m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=3m+3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{4}$x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=-4m-4，∴G（-4m-4，0）．
如上圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=$\frac{25}{12}$，解得m=$\frac{1}{12}$，
∴k=-12m=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法、矩形及勾股定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．本題計(jì)算量較大，解題過(guò)程中注意認(rèn)真計(jì)算．