Question

19．如圖，已知AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD與AC交于E．求證：DC²=DE•DB．

Answer 1

分析 作AF⊥BC于F，DM⊥BC于M，由AD∥BC，得到AF=DM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AF=$\frac{1}{2}$BC，得到DM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD，求出∠1=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠BDC=∠BCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，求得∠DEC=∠1+∠ACB=30°+45°=75°=∠BCD，得到△CED∽△BCD，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，作AF⊥BC于F，DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，
∴AF=DM，
在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴AF=$\frac{1}{2}$BC，
又∵DM=AF，BD=BC，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠1=30°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠DEC=∠1+∠ACB=30°+45°=75°=∠BCD，
∴△CED∽△BCD，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴DC²=DE•DB．

點(diǎn)評 本題考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．