Question

3．如圖，MN∥PQ，∠NAB和∠QBA的平分線相交于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線MN上一個可移動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），射線EC與PQ相交于點(diǎn)F．
（1）∠ACB=90°，證明：AE+AB=BF；
（2）當(dāng)點(diǎn)E移動到點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，上述結(jié)論是怎樣的？畫出圖形，直接寫出．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線得出：∠BAC+∠ABC=90°，再根據(jù)等角對等邊得AB=AD，利用三線合一得AC=CD，從而證明△AEC≌△DFC，得AE=DF，代入可得結(jié)論；
（2）結(jié)論不成立，有新的結(jié)論存在：AB=BF+AE，同理得：AB=BD，△ACE≌△DCF，有BD=BF+DF，
等量代換可得：AB=BF+AE．

解答 （1）證明：如圖1，∵M(jìn)N∥PQ，
∴∠NAB+∠ABF=180°，
∵∠NAB和∠QBA的平分線相交于點(diǎn)C，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠NAB，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠BAC+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠NAB+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
延長AC交PQ于D，
∵M(jìn)N∥PQ，
∴∠NAD=∠ADB，
∵∠NAD=∠BAC，
∴∠BAC=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AC=CD，
∵∠ACE=∠DCF，∠EAC=∠FDC，
∴△AEC≌△DFC，
∴AE=DF，
∴BF=BD+DF=AB+AE；
故答案為：90；
（2）如圖2，有AB=BF+AE，理由是：
延長AC交PQ于D，
由（1）得：AB=BD，
∴AC=CD，
∵∠EAC=∠ADF，∠ACE=∠DCF，
∴△ACE≌△DCF，
∴AE=DF，
∵BD=BF+DF，
∴AB=BF+AE．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，以及角平分線、平行線的性質(zhì)；明確兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，注意角平分線平分角時(shí)有三種表達(dá)方式，在證明中恰當(dāng)?shù)貙懗鲞m合本題的一種：∠BAC=$\frac{1}{2}$∠NAB，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建輔助線也是本題的關(guān)鍵；兩個問題中的結(jié)論雖然不同，但證明思路一致：①先由平行和角平分線定義得直角△ACB，②證明等腰△ABD，利用三線合一得AC=CD，③證明三角形全等．