Question

8．如圖，過A（-4，0），$B（0\;，\;\;4\sqrt{3}）$兩點的直線與直線y=-$\sqrt{3}$x交于點C，平行于y軸的直線l從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿戈軸向左平移，到C點時停止．直線l分別交線段BC，OC于點D，E，以DE為邊向右側(cè)作等邊△DEF．設(shè)△DEF與△BCO重疊部分圖形的周長為m，直線l的運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）求C點坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點F落在y軸上時，求相應(yīng)的時間t的值；
（3）求m與t之間的關(guān)系式．【說明：不考慮直線l平移過程中“起點”與“終點”時的情況．】

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再利用方程組求出交點坐標(biāo)C．
（2）設(shè)E（t，-$\sqrt{3}$t），則D（-t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），推出DE=-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，由△DFE是等邊三角形，可得點F坐標(biāo)（-4t+6，2$\sqrt{3}$），當(dāng)點F在y軸上時，-4t+6=0，解方程即可解決問題．
（3）分兩種情形討論①當(dāng)0＜t≤1.5時，重疊部分四邊形DMNE．②當(dāng)1.5＜t＜2時，重疊部分是△DEF．分別計算即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}\\{y=-\sqrt{3}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴點C坐標(biāo)（-2，2$\sqrt{3}$）．

（2）如圖1中，作FH⊥DE于H．設(shè)E（-t，$\sqrt{3}$t），則D（-t，-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$），

∴DE=-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
∵△DFE是等邊三角形，
∴FH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=-3t+6，
∴點F坐標(biāo)（-4t+6，2$\sqrt{3}$），
當(dāng)點F在y軸上時，-4t+6=0，
∴t=1.5，
∴t=1.5s時，點F在y軸上．

（3）如圖2中，

①當(dāng)0＜t≤1.5時，重疊部分四邊形DMNE，
m=3（-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）-2FM=-6$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$-2•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（-4t+6）=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+4$\sqrt{3}$．
②當(dāng)1.5＜t＜2時，重疊部分是△DEF，
m=3（-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$）=-6$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$．
綜上所述，m=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{3}}{3}t+4\sqrt{3}}&{（0＜t≤1.5）}\\{-6\sqrt{3}t+12\sqrt{3}}&{（1.5＜t＜2）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等邊三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．