Question

19．如圖，已知一次函數(shù)y=$\frac{4}{3}$x+m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-6，0），交y軸于點(diǎn)B．
（1）求m的值與點(diǎn)B的坐標(biāo)
（2）問在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC的面積為16？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）問在x軸是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形，求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
（4）一條經(jīng)過點(diǎn)D（0，2）和直線AB上的一點(diǎn)的直線將△AOB分成面積相等的兩部分，請(qǐng)求出這條直線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（-6，0）代入y=$\frac{4}{3}$x+m，求出m，即可．
（2）存在，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，0），由題意可得$\frac{1}{2}$•|a+6|•8=16，解方程即可．
（3）分三種情形討論即可①當(dāng)AB=AP時(shí)，②當(dāng)BA=BP時(shí)，③當(dāng)PA=PB時(shí)．
（4）如圖2中，設(shè)過點(diǎn)D的直線交AB于E，設(shè)E（b，$\frac{4}{3}b+8$），根據(jù)題意列出方程求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-6，0）代入y=$\frac{4}{3}$x+m，得m=8，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，8）．

（2）存在，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，0），由題意$\frac{1}{2}$•|a+6|•8=16，
解得a=-2或-10，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（-2，0）或（-10，0）．

（3）如圖1中，

①當(dāng)AB=AP時(shí)，AP=AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
可得P₁（-16，0），P₂（4，0）．
②當(dāng)BA=BP時(shí)，OA=OP，可得P₃（6，0）．
③當(dāng)PA=PB時(shí)，∵線段AB的垂直平分線為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{4}$，可得P₄（$\frac{7}{3}$，0），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（-16，0）或（4，0）或（6，0）或（$\frac{7}{3}$，0）．

（4）如圖2中，設(shè)過點(diǎn)D的直線交AB于E，設(shè)E（b，$\frac{4}{3}b+8$），

由題意$\frac{1}{2}$•BD•（-b）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•6•8，
∴b=-4，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（-4，$\frac{8}{3}$），
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{6}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴這條直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-$\frac{1}{6}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．