Question

5．如圖所示，等邊三角形ABC的邊長是4，點D在BC邊上移動，連接AD，作AD的垂直平分線，分別與邊AB、AC相交于點E、F，連接DE、DF．
（1）設(shè)BD=x，試用含x的代數(shù)式表示△BDE和△CDF的周長；
（2）在點D的移動過程中，△BDE和△CDF的周長能否相等？如果能，指出點D在BC邊的什么位置；如果不能，試簡單說明理由．

Answer 1

分析 （1）先用CD表示出BD，然后再利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得到AE=DE，所以△BDE的周長等于AB+BD，整理即可；
（2）要使△BDE和△CDF的周長相等，則4+x=8-x，解方程即可求得BD的長，進而求得DC的長，從而判定D的位置．

解答 解：（1）∵BD=x，BC=4，
∴CD=4-x．
∵EF是AD的垂直平分線，
∴DE=AE，AF=DF，
∴C_△BDE=AB+BD，C_△CDF=AC+CD
即C_△BDE=4+x，C_△CDF=4+4-x=8-x，
（2）要使△BDE和△CDF的周長相等，則4+x=8-x，
解得x=2，
∴BD=CD，
∴點D在BC邊的中點位置時，△BDE和△CDF的周長相等．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．