Question

14．（1）如圖①，∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上嗎？若在請畫出經(jīng)過A，B，C，D的圓（不寫畫法，保留畫痕），若不在，請說明理由．
（2）如圖②，如果∠ACB=∠ADB=α（α≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），猜想：點D還在經(jīng)過A，B，C三點的圓上嗎？（只寫出你的猜想，不需證明．）
（3）若四邊形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，點E在邊AB上，CE⊥DE．
（i）作∠ADF=∠AED，交CA的延長線于點F（如圖③），求證：DF為 Rt△ACD的外接圓的切線．
（ii）如圖④，點G在BC的延長線上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=$\frac{2}{3}$，AD=1，求DG的長．．

Answer 1

分析 （1）存在．以AB的中點O為圓心，OC為半徑畫圓即可．
（2）假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，利用圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)，可證得與條件相矛盾的結(jié)論，從而證得點D不在⊙O內(nèi)；
（3）作出RT△ACD的外接圓，由發(fā)現(xiàn)可得點E在⊙O上，則證得∠ACD=∠FDA，又因為∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可證得DF是圓的切線；
（4）由（2）可得點G在過C、A、E三點的圓O上，進而易證四邊形ACGD是矩形，根據(jù)已知條件解直角三角形ACD可得AC的長，即DG的長．

解答 解：（1）如圖①中，點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，如圖所示．


（2）如圖②中，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，延長AD交⊙O于點E，連接BE，則∠AEB=∠ACB，

∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾，
所以點D也不在⊙O內(nèi)，同法可證點D也不在⊙O外
所以點D即不在⊙O內(nèi)，也不在⊙O外，即點D在⊙O上；

（3）如圖③，取CD的中點O，則點O是RT△ACD的外心，

∵∠CAD=∠DEC=90°，
∴點E在⊙O上，
∴∠ACD=∠AED，
∵∠FDA=∠AED，
∴∠ACD=∠FDA，
∵∠DAC=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠FDA+∠ADC=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF為Rt△ACD的外接圓的切線；
（3）∵∠BGE=∠BAC，
∴點G在過C、A、E三點的圓上，如圖④，

又∵過C、A、E三點的圓是RT△ACD的外接圓，即⊙O，
∴點G在⊙O上，
∵CD是直徑，
∴∠DGC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=90°
∵∠DAC=90°
∴四邊形ACGD是矩形，
∴DG=AC，
∵sin∠AED=$\frac{2}{3}$，∠ACD=∠AED，
∴sin∠ACD=$\frac{2}{3}$，
在RT△ACD中，AD=1，
∴CD=$\frac{3}{2}$，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DG=AC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題綜合考查了圓周角定理、反證法、三角形外角的性質(zhì)、點和圓的位置關(guān)系、切線的判定、矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．