Question

14．如圖，在梯形AEDB中，BD∥AE，∠ABD=90°，在AB的右側作Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，且∠ECD=45°
（1）求證：BC²=BD•AE；
（2）試判斷以BD、AE、DE為三邊組成的三角形形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）只要證明△CDB∽△ECA，可得$\frac{BC}{EA}$=$\frac{DB}{AC}$，由此即可證明；
（2）以BD、AE、DE為三邊組成的三角形是直角三角形．將△CDB繞點C順時針旋轉90°得到△CAH，只要證明△ECD≌△ECH，推出ED=EH，由∠EAH=90°，推出AE²+AH²=EH²，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：∵CB=CA，∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵AE∥BD，∠ABD=90°，
∴∠EAB=180°-∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠CAE=135°，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCB+∠ECA=45°，∠ECA+∠CEA=45°，
∴∠DCB=∠CEA，
∴△CDB∽△ECA，
∴$\frac{BC}{EA}$=$\frac{DB}{AC}$，
∴BC•AC=BD•AE，
∵BC=AC，
∴BC²=BD•AC．

（2）解：以BD、AE、DE為三邊組成的三角形是直角三角形．
理由：將△CDB繞點C順時針旋轉90°得到△CAH，
∵∠CAH=∠CBD=135°，∠BAC=45°，
∴∠CAH+∠BAC=180°，
∴B、A、H共線，
∵CE=CE，∠ECD=∠ECH=45°，CD=CH，
∴△ECD≌△ECH，
∴ED=EH，
∵∠EAH=90°，
∴AE²+AH²=EH²，
∵DB=AH．ED=EH，
∴AE²+BD²=DE²，
∴以BD、AE、DE為三邊組成的三角形是直角三角形．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．