Question

4．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BD=AE，AD與CE交于點(diǎn)F，作CM⊥AD，垂足為M，下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． AD=CE
• B． MF=$\frac{1}{2}$CF
• C． ∠BEC=∠CDA
• D． AM=CM

Answer 1

分析 由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件證出△AEC≌△BDA，即可得出A正確；
由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，即可得出B正確；
由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出C正確；
D不正確．

解答 解：A正確；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC
又∵AE=BD
在△AEC與△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠B}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD=CE；
B正確；理由如下：
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠AFE=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CFM=∠AFE=60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，
∴MF=$\frac{1}{2}$CF；
C正確；理由如下：
∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，∠AFE=60°，
∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，
∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，
∴∠BEC=∠CDA；
D不正確；理由如下：
要使AM=CM，則必須使∠DAC=45°，由已知條件知∠DAC的度數(shù)為大于0°小于60°均可，
∴AM=CM不成立；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．