Question

19．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）線段CM、AE、BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，由△DCE為等腰直角三角形，得到∠CDE=∠CED=45°，因為點A，D，E在同一直線上，得到∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是得到∠AEB=∠BEC-∠CED=90°；
（2）由∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據(jù)此判斷出AE=BE+2CM即可

解答 解：（1）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BC}\\{∠ACD=∠BDE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CED=∠CDE=45°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°．
（2）AE=BE+2CM．
理由：
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定方法和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．