Question

12．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0（k≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）判斷該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等，并說(shuō)明理由；
（2）已知k=9，若△ABC的兩邊的長(zhǎng)分別是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為6，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得出該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；
（2）將k=9代入x²-（2k+1）x+k²+k=0，得出方程為x²-19x+90=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和為19，那么△ABC的周長(zhǎng)=19+6=25．

解答 解：（1）該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等，理由如下：
∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；

（2）k=9時(shí)，方程為x²-19x+90=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，兩根之和為19，
∵△ABC的兩邊的長(zhǎng)分別是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為6，
∴△ABC的周長(zhǎng)=19+6=25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．