Question

13．已知平面直角坐標(biāo)系中，⊙M在第一象限內(nèi)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a+1，a）（其中a＞1），⊙M的半徑為1，動(dòng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線，則最短的切線長(zhǎng)為（　�。�

• A． a-1
• B． a
• C． $\sqrt{{a}^{2}-1}$
• D． $\sqrt{{a}^{2}+2a}$

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為Q，連接MQ，如圖，利用切線的性質(zhì)得到∠PQM=90°，利用勾股定理得到PQ=$\sqrt{P{M}^{2}-1}$，由于M到x軸的距離為a，到y(tǒng)軸的距離為a+1，所以PM的最小值為a，于是得到PQ的最小值為$\sqrt{{a}^{2}-1}$．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為Q，連接MQ，如圖，
∵PQ為切線，
∴MQ⊥PQ，
∴∠PQM=90°，
∴PQ=$\sqrt{P{M}^{2}-M{Q}^{2}}$=$\sqrt{P{M}^{2}-1}$，
當(dāng)PM最小時(shí)，PQ的值最小，
而M到x軸的距離為a，到y(tǒng)軸的距離為a+1，
∴PM的最小值為a，
∴PQ的最小值為$\sqrt{{a}^{2}-1}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．