Question

1．如圖，⊙O是以AB為直徑的圓，C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點F，連結(jié)CA，CB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若⊙O的半徑為5，且tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)得到OC⊥EF，而AE⊥EF，則可判定AE∥OC，利用平行線的性質(zhì)得到∠EAC=∠OCA，加上∠OCA=∠OAC，于是得到∠OAC=∠OCA；
（2）利用∠OAC=∠OCA得到tan∠OAC=tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，設(shè)BC=x，則AC=2x，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$x，則$\sqrt{5}$x=10，然后解方程求出x即可得到BC的長．

解答 （1）證明：∵EF為切線，
∴OC⊥EF，
∵AE⊥EF，
∴AE∥OC，
∴∠EAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：∵∠OAC=∠OCA，
∴tan∠OAC=tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BC=x，則AC=2x，
∴AB=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=10，解得x=2$\sqrt{5}$，
∴BC=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了解直角三角形．