Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點C、A分別在x、y軸上，A（0，6），E（0，2），點H、F分別在邊AB、OC上，以H、E、F為頂點作菱形EFGH．
（1）當H（-2，6）時，求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）若F（-5，0），求點G的坐標．

Answer 1

分析 （1）只要證明Rt△AHE≌Rt△OEF，推出∠AEH=∠EFO，由∠EFO+∠FEO=90°，推出∠AEH+∠FEO=90°，推出∠HEF=90°，即可證明．
（2）連接EG交FH于K．首先求出點H的坐標，利用中點坐標公式求出K的坐標，再求出點G坐標即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠AOC=90°，
∵E（0，2），H（-2，6），
∴AH=OE=2，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴EH=EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EH=EF}\\{AH=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH=∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO=90°，
∴∠AEH+∠FEO=90°，
∴∠HEF=90°，∵四邊形EFGH是菱形，
∴四邊形EFGH是正方形．

（2）連接EG交FH于K．
∵HE=EF，
∴AH²+AE²=EO²+OF²，
∴AH²+16=4+25，
∴AH=$\sqrt{13}$，
∴H（-$\sqrt{13}$，6），
∵KH=KF，
∴K（-$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，3），
∵GK=KE，
∴G（-5-$\sqrt{13}$，4）．

點評 本題考查正方形的性質和判定、菱形的性質、勾股定理、中點坐標公式等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用中點坐標公式，屬于中考�？碱}型．