Question

9．已知m，n是有理數(shù)，方程x²+mx+n=0有一個(gè)根是$\sqrt{5}$-2，則m=4，n=-1．

Answer 1

分析 當(dāng)m，n為有理數(shù)時(shí)，由求根公式可知，方程x²+mx+n=0的一個(gè)根-2+$\sqrt{5}$，則另一根為-2-$\sqrt{5}$，根據(jù)兩根關(guān)系可求m，n的值．

解答 解：由m，n是有理數(shù)，且方程x²+mx+n=0有一個(gè)根-2+$\sqrt{5}$，是一個(gè)無(wú)理數(shù)；
可知另一根必是已知根的有理化因式即-2-$\sqrt{5}$．
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
$\left\{\begin{array}{l}{（\sqrt{5}-2）+（\sqrt{5}+2）=-m}\\{（\sqrt{5}-2）（\sqrt{5}+2）=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
故答案是：4；-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及系數(shù)為有理數(shù)時(shí)，無(wú)理根“成對(duì)”出現(xiàn)的原則：x₁=a+$\sqrt$，x₂=a-$\sqrt$．