Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，B，C在x軸上，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，AD=6，且$\sqrt{OA-4}+（OB-3）^{2}=0$．
（1）請直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在y軸上，連接PC，且∠PCD=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若四邊形AMCN為菱形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并直接判斷（2）中所求點(diǎn)P與直線DN的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平方和算術(shù)平方根的非負(fù)性列式得：OA=4，OB=3，則A（0，4），B（-3，0），根據(jù)平行四邊形的對邊相等得出C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，利用三角形的內(nèi)角和得：∠PCO=∠OAB，由等角的三角函數(shù)列式可求OP的長，寫出P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，作輔助線，構(gòu)建菱形AMCN，設(shè)AM=x，則OM=4-x，由勾股定理求x的值，則AM=CM=$\frac{25}{8}$，OM=$\frac{7}{8}$，分別求出NH和OH的長，寫出N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線DN的解析式，判斷點(diǎn)P與直線DN的位置關(guān)系．

解答 解：（1）∵$\sqrt{OA-4}+（OB-3）^{2}=0$，
∴OA-4=0，OB-3=0，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=6，
∴OC=6-3=3，
∴C（3，0）；
（2）如圖1，延長CP交AB于G，
∴∠AGP=∠COP=90°，
∵∠APG=∠OPC，
∴∠PCO=∠OAB，
tan∠PCO=tan∠OAB=$\frac{OP}{OC}=\frac{OB}{OA}$，
∴$\frac{OP}{3}=\frac{3}{4}$，
∴OP=$\frac{9}{4}$，
∴P（0，$\frac{9}{4}$）；
（3）如圖2，作AC的中垂線MN，交y軸于M，交AC于G，根據(jù)菱形AMCN，則AM=CM，
設(shè)AM=x，則OM=4-x，
在Rt△COM中，由勾股定理得：x²=（4-x）²+3²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴AM=CM=$\frac{25}{8}$，
∵AC=5，
∴AG=CG=$\frac{5}{2}$，
∴MG=$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
∴MN=2MG=$\frac{15}{4}$，
∵四邊形AMCN是菱形，
∴∠CMN=∠AMN，
過N作NH⊥y軸于H，
cos∠AMN=cos∠CMN=$\frac{MH}{MN}=\frac{MG}{MC}$，
∴$\frac{MH}{\frac{15}{4}}=\frac{\frac{15}{8}}{\frac{25}{8}}$，
∴MH=$\frac{9}{4}$，
由勾股定理得：NH=$\sqrt{M{N}^{2}-M{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，
OM=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴OH=$\frac{7}{8}$+$\frac{9}{4}$=$\frac{25}{8}$，
∴N（3，$\frac{25}{8}$）；
設(shè)直線DN的解析式為：y=kx+b，
把D（5，4）和N（3，$\frac{25}{8}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=4}\\{3k+b=\frac{25}{8}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{16}}\\{b=\frac{29}{16}}\end{array}\right.$，
∴直線DN的解析式為：y=$\frac{7}{16}$x+$\frac{29}{16}$，
∵P（0，$\frac{9}{4}$）；
∴P在直線DN外．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形和菱形的性質(zhì)，同時考查了坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)、二次根式與平方的非負(fù)性、三角函數(shù)、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難度適中，答題時注意看清題意．