Question

12．如圖所示，鳳凰鎮(zhèn)的A、B兩個村莊在涌泉河CD的同側(cè)，已知兩村莊的距離為2$\sqrt{13}$千米，A、B兩個村莊到涌泉河CD的垂直距離分別是2千米、6千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鳳凰鎮(zhèn)政府決定在涌泉河CD邊上修建一水廠向A、B兩個村莊輸送自來水．
（1）如果AB之間不能鋪設(shè)水管，只能從河邊分別向兩村鋪設(shè)水管，要求鋪設(shè)水管長度最短，作圖找出在河岸修水廠的位置M，簡要說明作圖過程．
（2）如果完成這項工程鎮(zhèn)政府投入的資金為57萬元，其中修建水廠需要25萬元，求按上述（1）最短方案鋪設(shè)水管，平均每千米的鋪管費用不得高于多少萬元？

Answer 1

分析 （1）作出A關(guān)于CD的對稱點A′，再連接A′B，A′B與CD的交點就是水廠位置M；
（2）過B作BE⊥AA′于E，首先利用勾股定理計算出EB的長，再利用勾股定理計算出AB的長，再根據(jù)總費用=修建水廠需20萬元+鋪設(shè)水管的所有費用即可得到答案．

解答 解：（1）作圖如右圖所示；

（2）過B作BE⊥AA′于E．
∵A、B兩個村莊在河C、D距離分別是2千米和6千米，
∴AE=4千米，
在直角△AEB中：BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{13）^{2}-{4}^{2}}}$=6（千米），
∵A′E=4+2+2=8千米，
∴A′B=$\sqrt{B{E}^{2}+A′{E}^{2}}$=10（千米），
∴鋪設(shè)水管，平均每千米的鋪管費用不得高于：
（57-25）÷10=3.2（萬元）．
答：按上述最短方案鋪設(shè)水管，平均每千米的鋪管費用不得高于3.2萬元．

點評 此題主要考查了作圖與應(yīng)用設(shè)計，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出M點的位置．