Question

10．如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形．
（1）如圖1，連接AG、CE，試判斷AG和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明．
（2）將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角（0°＜β＜180°），如圖2，連接AG、CE相交于點(diǎn)M，連接MB，求∠EMN的度數(shù)．
（3）若BE=2，BC=6，連接DG，將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角（0°≤β≤180°），則在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段DG長度的最大值為10，最小值為6$\sqrt{2}$-2（直接填空，不寫過程）．

Answer 1

分析 （1）由條件證明Rt△GBA≌Rt△EBC可得出AG=CE，且∠GAB=∠BCE，可判定出其位置關(guān)系；
（2）過B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分別為P、Q，證明△BPE≌△BQG可得BP=BQ，而可知PM=BQ，所以可得出△BPM為等腰直角三角形，可求出∠EMB的度數(shù)；
（3）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：當(dāng)點(diǎn)G在線段BD上時(shí)DG的長度最短，當(dāng)在初始位置時(shí)，DG最大，利用勾股定理求出其長度即可．

解答 解：
（1）AG=CE，AG⊥CE，證明如下：
∵四邊形ABCD、BEFG均為正方形，
∴∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE，BA=BC，
在△GBA和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBA=∠EBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△GBA≌△EBC（SAS），
∴AG=CE，∠GAB=∠BCE，
∴∠BGA+∠BCE=∠BGA+∠GAB=90°，
∴AG⊥CE；
（2）如圖，過B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分別為P、Q，

可知四邊形BPMQ為矩形，
∴∠PBE+∠PBG=∠QBG+∠PBG=90°，
∴∠PBE=∠QBG，
在△BPE和△BQG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBE=∠QBG}\\{∠BPE=∠BQG}\\{BE=BQ}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△BQG（AAS），
∴BP=BQ，且BQ=PM，
∴BP=PM，
∴△BPM為等腰直角三角形，
∴∠EMB=45°；
（3）當(dāng)在初始位置時(shí)，DG最大，此時(shí)GC=6+2=8，CD=6，由勾股定理可求得DG=10，
當(dāng)G點(diǎn)在線段BD上時(shí)，DG最小，此時(shí)BG=2，BD=6$\sqrt{2}$，所以DG=6$\sqrt{2}$-2，
故答案為：10；6$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，（2）中構(gòu)造三角形全等、（3）中確定出最大值和最小值的位置是解題的關(guān)鍵．