Question

20．如圖1，拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）與x軸交于點A（2，0）和點B（-6，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，在對稱軸上存在點P，使△CMP為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點Q是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)點Q滿足AC+QC最小時，求出Q點的坐標(biāo)；
（4）如圖2，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE的面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0）和B（-6，0）代入y=ax²+bx+6解方程組即可．
（2）如圖1中，分三種情形①當(dāng)P₁C=CM時，當(dāng)MP₂=MC時，當(dāng)MP₃=MC時，分別求解即可．
（3）如圖2中，連接BC交對稱軸于Q，此時QA+QC最�。�求出直線BC的解析式，即可求出點Q坐標(biāo)．
（4）如圖3中，設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m²-2m+6）．連接EO．根據(jù)S_{四邊形BOCE}=S_△BOE+S_△COE構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 解：（1）把A（2，0）和B（-6，0）代入y=ax²+bx+6得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+6=0}\\{35a-6b+6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-2x+6．

（2）如圖1中，

由題意C（0，6），M（-2，0），
∴CM=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
①當(dāng)P₁C=CM時，可得P₁（-2，12），
②當(dāng)MP₂=MC時，P₂（-2，2$\sqrt{10}$），
③當(dāng)MP₃=MC時，P₃（-2．-2$\sqrt{10}$）．
綜上所述滿足條件的點P坐標(biāo)（-2，12）或（-2，2$\sqrt{10}$）或（-2，-2$\sqrt{10}$）．

（3）如圖2中，連接BC交對稱軸于Q，此時QA+QC最�。�

∵B（-6，0），C（0，6），
∴直線BC的解析式為y=x+6，
∴點Q（-2，4）．

（4）如圖3中，設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m²-2m+6）．連接EO．

∵S_{四邊形BOCE}=S_△BOE+S_△COE=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{1}{2}$m²-2m+6）+$\frac{1}{2}$×6×（-m）=-$\frac{3}{2}$（m+3）²+$\frac{63}{2}$，
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=-3時，四邊形BOCE的面積最大，最大值為$\frac{63}{2}$，此時點E（-3，$\frac{15}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱確定最短問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．