Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，點(diǎn)F為斜邊AB上的一點(diǎn)，連接CF，CD平分∠ACF交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，且有∠CFD=∠CDE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F為斜邊AB的中點(diǎn)時，求CE的長；
（2）將點(diǎn)F從AB的中點(diǎn)沿AB方向向左移動到點(diǎn)B，其余條件不變，如圖2．
①求點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長；
②求線段DE所掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等邊三角形的特征，判斷出ACF是等邊三角形；然后根據(jù)CD平分∠ACF，可得CD⊥AF，據(jù)此求出CD的值是多少；最后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△CFD∽△CDE，即可判斷出$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{CD}$，據(jù)此求出CE的長度是多少即可．
（2）①如圖2，過D作DG⊥CF于G，過E作EH⊥CD于H，由點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，得到∠ACB=∠ACF=90°，CD平分∠ACF交AB于點(diǎn)D，得到∠FCD=∠ACD=45°，于是得到△CDG與△CHE是等腰直角三角形，通過解直角三角形得到CE=4$\sqrt{3}$-6，于是求出點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長=1.5-（4$\sqrt{3}$-6）=$\frac{15}{2}-4\sqrt{3}$；②如圖，過C作CM⊥AB于M，過M作MN⊥AC于N，由（1）知CM=$\sqrt{3}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則AN=$\frac{1}{2}$，由①知，DF=2DG=6-2$\sqrt{3}$，求得AD=4-（6-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
于是得到線段DE所掃過的面積=S_△ACD-S_△CDE-S_△AMN=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}-2）×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×（3\sqrt{2}-\sqrt{6}）×（2\sqrt{6}-3\sqrt{2}）$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得結(jié)論線段DE所掃過的面積=18-$\frac{81\sqrt{3}}{8}$．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，AC=2，
∴AB=2÷sin30°=4，
∵點(diǎn)F為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CF=BF=AF=2，
又∵AC=2，
∴△ACF是等邊三角形，
∵CD平分∠ACF，
∴CD⊥AF，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，
在△CFD和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠CDE}\\{∠FCD=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△CFD∽△CDE，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{CD}$，
∴CE=$\frac{{CD}^{2}}{CF}$=$\frac{{（\sqrt{3}）}^{2}}{2}=\frac{3}{2}=1.5$．

（2）①如圖2，過D作DG⊥CF于G，過E作EH⊥CD于H，
∵∠ACB=∠ACF=90°，CD平分∠ACF交AB于點(diǎn)D，
∴∠FCD=∠ACD=45°，
∴CG=CD，CH=HE，
設(shè)CG=CD=x，CH=HE=y，
∵∠CFD=∠CDE=30°，
∴FG=$\sqrt{3}$x，DH=$\sqrt{3}$y，
∴x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴x=3-$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{2}$x=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴y+$\sqrt{3}$y=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
∴y=2$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，
∴CE=4$\sqrt{3}$-6，
∴點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長=1.5-（4$\sqrt{3}$-6）=$\frac{15}{2}-4\sqrt{3}$；
②如圖，過C作CM⊥AB于M，過M作MN⊥AC于N，
由（1）知CM=$\sqrt{3}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則AN=$\frac{1}{2}$，
由①知，DF=2DG=6-2$\sqrt{3}$，
∴AD=4-（6-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴線段DE所掃過的面積=S_△ACD-S_△CDE-S_△AMN=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}-2）×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}×（3\sqrt{2}-\sqrt{6}）×（2\sqrt{6}-3\sqrt{2}）$-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴線段DE所掃過的面積=18-$\frac{81\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了軌跡問題，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．