Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F，切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K．
（1）求證：KE=CE；
（2）若KG²=KD•CE，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OG．欲證明KE=CE，只要證明∠EGK=∠EKG即可．
（2）由KG²=KD•CE結(jié)合條件（1），可以推出△GKD∽△EGK，推出∠E=∠C，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OG．

∵EG是⊙O切線，
∴OG⊥EF，
∴∠OGE=90°，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵DC⊥AB，
∴∠AHK=90°，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．

（2）結(jié)論：AC∥EF．
理由：如圖2中，連接DG．

∵KG²=KD•GE，
∴$\frac{KG}{KD}$=$\frac{GE}{KG}$，
∴$\frac{KG}{KD}$=$\frac{KE}{KG}$，
∵∠DKG=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，
∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、切線的性質(zhì)、等角的余角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．