Question

18．如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，C，D，且與AB相切于點(diǎn)A，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

分析 連接OA、OC、OB．由切線的性質(zhì)可知∠OAB=90°，然后證明△AOB≌△COB，從而得到∠OCB=∠OAB=90°，于是得到∠ABC+∠AOC=180°然后根據(jù)圓周角定理和菱形的性質(zhì)可知∠AOC=2∠ABC，從而可求得∠AOC=60°．

解答 解：如圖所示：連接OA、OC、OB．

∵BA是圓O的切線，
∴OA⊥AB．
∴∠BAO=90°．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ADC．
在△AOB和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{OA=OC}\\{OB=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COB．
∴∠OCB=∠OAB=90°．
∴∠ABC+∠AOC=180°．
又∵∠ADC=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠AOC=2∠ABC．
∴3∠AOC=180°．
∴∠AOC=60°．

點(diǎn)評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得∠AOC=2∠ABC、∠ABC+∠AOC=180°是解題的關(guān)鍵．