Question

20．如圖．∠A=90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓半徑為1，與三邊的切點(diǎn)分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，D，AC=4，求AB，BC的長．

Answer 1

分析 設(shè)BE=BD=x，連接OE，OF，OD，推出四邊形AEOF是正方形，得到AE=AF=1，求得CD=CF=3，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)BE=BD=x，
連接OE，OF，OD，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠A=∠AEO=∠AFO=90°，
∴四邊形AEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴矩形AEOF是正方形，
∴AE=AF=1，
∵AC=4，
∴CD=CF=3，
∵AB²+AC²=BC²，
即（1+x）²+4²=（x+3）²，
∴x=2，
∴AB=3，BC=5．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，正方形的判定和性質(zhì)，切線長定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．