Question

17．如圖①，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點(diǎn)A，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)C為DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CB．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）連接AE，AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G（如圖②所示）．若⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，AD=2，求線段CE和GE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE，OC，即可證明△OEC≌△OEC，根據(jù)DE與⊙O相切于點(diǎn)E得到OEC=90°，從而證得∠OBC=90°，則BC是圓的切線．
（2）先求線段BC的長(zhǎng)，過(guò)D作DF⊥BG于F，則四邊形ABFD是矩形，有DF=AB=2$\sqrt{5}$，在Rt△DCF中，由切線長(zhǎng)定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE-2，利用勾股定理可求得CE的長(zhǎng)；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根據(jù)平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可證得CE=CG=CB，即可求得BG的長(zhǎng)；在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易證△ADE∽△GCE，根據(jù)相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例關(guān)系，聯(lián)立AG的長(zhǎng)，即可得到EG的值．

解答 （1）證明：如圖1，連接OE，OC；
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC
又∵DE與⊙O相切于點(diǎn)E
∴∠OEC=90°
∴∠OBC=90°
∴BC為⊙O的切線．

（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AD，DC，BG分別切⊙O于點(diǎn)A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
設(shè)BC為x，則CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中，（x+2）²-（x-2）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴CE=BC=$\frac{5}{2}$；
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵AD∥BG，
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB=$\frac{5}{2}$，
∴BG=5，
∴AG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+{5}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
連接BE，S_△ABG=$\frac{1}{2}$AB•BG=AG•BE，
∴BE=$\frac{10}{3}$，
在Rt△BEG中，EG=$\sqrt{B{G}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，是一道難度較大的綜合題．