Question

7．如圖，AB是圓O直徑，C是圓O上一點，P在AB延長線上，且∠PCB=∠A．
（1）求證：PC與圓O相切；
（2）若圓O半徑為5，AC=8，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及等腰三角形的性質(zhì)證明∠OCP=90°，則根據(jù)切線的判定定理證得；
（2）首先利用勾股定理求得BC的長，然后證明△PAC∽△PBC，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得．

解答 解：（1）證明：連接OC．
∵AB是圓O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
又∵∠PCB=∠A，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC與圓O相切；
（2）AB=5×5=10，
在直角△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6．
∵∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PBC，
∴$\frac{BP}{AC}$=$\frac{BP}{PC}$=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴PC2=BP•AP，設BP=3x，則PC=4x，
∴（4x）²=3x•（3x+10），
解得x=$\frac{30}{7}$，
則BP=$\frac{90}{7}$．

點評 本題考查了切線的判定定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程是關鍵．