Question

19．已知點M是銳角△ABC的外心，線段AM的延長線交邊BC于點N，⊙O經(jīng)過點A、M，分別交AB、AC于點D、E．
（1）如圖1，當(dāng)線段AM為⊙O的直徑時，
①求證：DE∥BC；
②若AD=AE，∠BAC=60°，連接DN，求證：直線DN是⊙O的切線；
③若AD=AE，∠BAC=45°，BC=2$\sqrt{2}$a，用含a的式子表示AD²；
（2）如圖2，連MD、ME，若△ABC是等邊三角形，且四邊形ADME的面積為3$\sqrt{3}$，試求AB的長．

Answer 1

分析 （1）①作出兩圓的外公切線，利用弦切角和圓周角的關(guān)系即可得出∠AED=∠ACB，即可；
②先判斷出AM平分∠BAC，AN⊥DE，進(jìn)而得出∠DAN=30°，再求出∠DOI=60°，進(jìn)而用含30°的直角三角形的性質(zhì)判斷出AD=ND，即可求出∠AND=30°，進(jìn)而判斷出∠DON+∠DNO=90°，即可得出結(jié)論．
③先判斷出AN⊥BC，進(jìn)而求出MN=BN=$\sqrt{2}$a，再用勾股定理得出AM=BM=2a，進(jìn)而用勾股定理求出AB的平方，最后判斷出AD=$\frac{1}{2}$AB代入即可；
（2）作出輔助線，先判斷出四邊形ADME的面積等于四邊形AHMGA的面積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三角形AMH的面積的2倍，再判斷出HM=$\frac{1}{2}$AH，用面積公式求的AH=3，最后判斷出AB=2AH即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，
∵線段AM為⊙O的直徑，
∴⊙O，⊙M內(nèi)切于點A，
過點A作⊙O，⊙M的外公切線PA，
在⊙O中，∠PAD=∠AED，
在⊙M中，∠PAD=∠ACB，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE∥BC，
  ②如圖1-1，
∵AM是⊙O的直徑，且AD=AE，
∴AM平分∠BAC，AN⊥DE，
∴∠DAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
連接OD，∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
在Rt△ODI中，∠DOI=2∠OAD=60°，
∴∠ODI=30°，
∴DI=$\sqrt{3}$OI，OA=OD=2OI，
∴AM=2OA=4OI，AI=OA+OI=3OI，
∴IM=AM-AI=4OI-3OI=OI，
∵M(jìn)是△ABC的外心，
∴BM=AM=4OI，∠BMN=2∠BAN=60°，
∴∠MBN=30°，
在Rt△BMN中，MN=$\frac{1}{2}$BM=2OI，
∴NI=IM+MN=OI+2OI=3OI，
∴AI=NI，
∵DE⊥AN，
∴AD=DN，
∴∠DNI=∠DAI=30°，
∴∠NDI=60°，
∴∠ODN=∠ODI+∠NDI=90°，
∵D在⊙O上，
∴直線DN是⊙O的切線；
③如圖2，連接DM，BM，
∵AM是⊙O的直徑，且AD=AE，
∴AM平分∠BAC，AN⊥DE，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$a，∠DAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠ABN=90°-∠DAN=67.5°，
∵M(jìn)是△ABC的外心，
∴∠BMN=2∠BAN=45°，
在Rt△BMN中，MN=BN=$\sqrt{2}$a，BM=$\sqrt{2}$BN=2a，
∴AM=BM=2a，
∴AN=AM+MN=2a+$\sqrt{2}$a=（2+$\sqrt{2}$）a，
在Rt△ABN中，AB²=AN²+BN²=[（2+$\sqrt{2}$）a]²+2a²=（8+4$\sqrt{2}$）a²，
連接DM，
∵AM是⊙O的直徑，
∴∠ADM=90°，
∵AM=BM，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD²=（$\frac{1}{2}$AB）²=$\frac{1}{4}$AB²=$\frac{1}{4}$（8+4$\sqrt{2}$）a²=（2+$\sqrt{2}$）a²．
（2）∵點M是等邊三角形ABC的外心，
∴AM=BM，AN⊥BC，AN平分∠BAC，
過點M作MH⊥AB，MG⊥AC，
∴MH=MG，
∵四邊形ADME是⊙O的內(nèi)接圓，
∴∠HDM=∠GEM，
在△DHM和△EGM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HDM=∠GEM}\\{∠DHM=∠EGM}\\{MH=MG}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△EGM，
∴S_△DHM=S_△EGM，
∴S_{四邊形ADME}=S_{四邊形AHMG}=2S_△AHM=2×$\frac{1}{2}$AH×HM=AH×HM=3$\sqrt{3}$，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴HM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AH，
∴AH×$\frac{\sqrt{3}}{3}$AH=3$\sqrt{3}$，
∴AH=3，
∵AM=BM，MH⊥AB，
∴AB=2AH=6．

點評 此題圓的綜合題，主要考查了三角形的外接圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出AN垂直平分BC．