Question

7．已知正方形ABCD和正方形AEFG，如圖1擺放，即點E、A、D三點共線，點G、A、B三點共線．連接BE、DG，點H為BE的中點，連接AH．
（1）當(dāng)AG=2，AH=3時，求tan∠ADG的值；
（2）若把正方形AEFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，使點G在正方形ABCD的內(nèi)部（如圖2），求證：DG=2AH；
（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠GAD=30°時，若AG=$\frac{1}{2}$AB，探索（$\frac{AH}{AG}$）²的值并直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出BE=6，再用勾股定理得出AB，最后用三角函數(shù)的定義即可；
（2）先利用同角的余角相等得出∠MAB=∠DAG，進(jìn)而得出△MAB≌△GAD即可得出結(jié)論；
（3）先構(gòu)造出直角三角形，先在Rt△ANG中，得出AG=2NG，AN=$\sqrt{3}$NG，進(jìn)而得出，DN=（4-$\sqrt{3}$）NG，再Rt△DNG中，DG²=（20-8$\sqrt{3}$）NG²即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△ABE中，AH=3，且H為BE中點，
∴BE=2AH=6，
∴AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴tan∠ADG=$\frac{AG}{AD}=\frac{AG}{AB}=\frac{2}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，

證明：如圖3，

延長EA至點M，使得EA=AM，連接MB，
∵EH=HB
∴AH=$\frac{1}{2}$MB（三角形的中位線等于第三邊的一半）
∵∠GAM=∠EAG=90°，
∴∠GAM=∠DAB，
∵∠MAB+∠BAG=90°，∠DAG+∠BAG=90°，
∴∠MAB=∠DAG，
∵AE=AG，AM=AE，
∴AM=AG，
在△MAB和△GAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=AG}\\{∠MAB=∠DAG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△MAB≌△GAD
∴DG=BM=2AH，
（3）（$\frac{AH}{AG}$）²=$\frac{5-2\sqrt{3}}{4}$．
理由：如圖3，

過點G作GN⊥AD，
在Rt△ANG中，∠DAG=30°，
∴AG=2NG，AN=$\sqrt{3}$NG，
∵AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{1}{2}$AB=2NG，
∴AB=4NG，
∴DN=AD-AN=AB-$\sqrt{3}$NG=4NG-$\sqrt{3}$NG=（4-$\sqrt{3}$）NG，
在Rt△DNG中，DG²=NG²+DN²=NG²+（4-$\sqrt{3}$）²×NG²=（20-8$\sqrt{3}$）NG²，
由（2）知，DG=2AH；
∴AH2=$\frac{1}{4}$DG²=$\frac{1}{4}$（20-8$\sqrt{3}$）NG²=（5-2$\sqrt{3}$）NG²，
∴（$\frac{AH}{AG}$）²=$\frac{A{H}^{2}}{A{G}^{2}}$=$\frac{（5-2\sqrt{3}）N{G}^{2}}{（2NG）^{2}}$=$\frac{（5-2\sqrt{3}）N{G}^{2}}{4N{G}^{2}}$=$\frac{5-2\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出DG=2AH，是一道比較簡單的中考常考題．