Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心5個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑在x軸上方作半圓，交x軸于點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B是該半圓周上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CB、AB，并延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DB=AB，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線CB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)OF．
（1）當(dāng)∠CAB=30°時(shí)，求弧$\widehat{AB}$的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在第一象限且DE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；
（3）在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由已知得∠AOB=2∠ACB=60°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解；
（2）連接CD，由垂直平分線的性質(zhì)得CD=AB=10，又DE=8，在Rt△CDE中，由勾股定理求CE，依題意證明△CEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．當(dāng)以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，分為兩種情況：①當(dāng)交點(diǎn)E在O，B之間時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)時(shí)；分別求E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∴$\widehat{AB}$=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5}{3}$π
（2）如圖，

連接CD，
∵∠ACB=90°，BD=BA，
∴CD=CB=10，
∵DE⊥AC，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=6，
∴AE=AC-CE=4，
∴DE=2AE，
∵∠DFB=∠DAE，∠DFB=∠CFE，
∴∠CFE=∠DAE，
∵∠CEF=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△DEA，
∴$\frac{CE}{EF}=\frac{DE}{AE}$=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=3；
（3）連接EB，設(shè)E（x，0），
當(dāng)$\widehat{AB}$的度數(shù)為60°時(shí)，點(diǎn)E恰好與原點(diǎn)O重合；
①0°＜$\widehat{AB}$的度數(shù)＜60°時(shí)，點(diǎn)E在O、A之間，∠EOF＞∠ACB=∠ADE，
必須令∠EOF=∠EAD，此時(shí)有△EOF∽△EAD，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{OF}{AD}$
∵EB是Rt△ADE斜邊的中線，
∵BE=AB，
∴∠BEA=∠EAD，
∴∠EOF=∠BEA，
∴OF∥BE，
$\frac{OC}{CE}=\frac{OF}{BE}=\frac{2OF}{AD}$
∴$\frac{OC}{CE}=\frac{2OE}{AE}$，
即$\frac{5}{5+x}=\frac{2x}{5-x}$，
解得x=$\frac{-15±5\sqrt{17}}{4}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$，
②60°＜$\widehat{AB}$的度數(shù)＜90°時(shí)，點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)，
若∠EOF=∠B，則OF∥AD，
∴OF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{4}$AD，
∴$\frac{OF}{AD}=\frac{OE}{AE}=\frac{1}{4}$，
即$\frac{-x}{5-x}=\frac{1}{4}$，解得x=-$\frac{5}{3}$，
若∠EOF=∠ACB，則x=-$\frac{5}{2}$，
綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{-15+5\sqrt{17}}{4}$，0）、（-$\frac{5}{3}$，0）、（-$\frac{5}{2}$，0）

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了弧長(zhǎng)公式，勾股定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，解本題的關(guān)鍵是分情況討論計(jì)算點(diǎn)E的坐標(biāo)．