Question

17．在一個三角形中，若一條邊等于另一條邊的兩倍，則稱這種三角形為“倍邊三角形”．
（1）下列三角形是倍邊三角形的是C
A．頂角為30°的等腰三角形
B．底角為30°的等腰三角形
C．有一個角為30°的直角三角形
D．有一個角為45°的直角三角形
（2）如圖①，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E是AB的中點．求證：△DCE是倍邊三角形；
（3）如圖②，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6，若點D在邊AB上（點D不與A、B重合），且△BCD是倍邊三角形，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形的性質和直角三角形的性質減小判斷即可；
（2）根據兩邊對應成比例、夾角相等的兩個三角形相似證明△ACD∽△AEC，再根據AD=2AC即可得到答案；
（3）分BC=2BD、BC=2CD、BD=2CD、CD=2BD四種情況進行解答，求出各種情況下BD的長．

解答 解：（1）頂角為30°的等腰三角形和底角為30°的等腰三角形的底與腰的關系無法確定，所以A、B不正確；
在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，∴C正確；
有一個角為45°的直角三角形斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍，D不正確，
故選：C；
（2）∵BD=AB=AC，∴AD=2AC．即$\frac{AD}{AC}$=2．
∵E是AB的中點，∴AB=2AE．∴AC=2AE．即$\frac{AC}{AE}$=2，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$．又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△AEC．∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AD}{AC}$=2．
∴△DCE是倍邊三角形．
（3）當BC=2BD時，BD=3；
當BC=2CD時，如圖①，
CD=3，作CE⊥AB于E，
tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$=2，
設AE=x，則CE=2x，AC=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=3．x=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$．
在△ACD中，∵CD=AC=3，CE⊥AB，
∴AD=2 AE=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
∴BD=AB-AD=$\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$；
當BD=2CD時，如圖②，作DF⊥BC于F，
tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，設DF=y，則BF=2y，BD=$\sqrt{5}$y，
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，CF=$\frac{1}{2}$y．
∵BC=BF+CF，∴6=2y+$\frac{1}{2}$y．
解得y=$\frac{12}{5}$．BD=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$；
同理，當CD=2BD時，DF=$\frac{2\sqrt{19}-4}{5}$，BD=$\frac{2\sqrt{95}-4\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述，BD=3或$\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$或$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$或$\frac{2\sqrt{95}-4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質，理解新定義、正確運用三角形三角形的性質定理和判定定理是解題的關鍵，注意分情況討論思想的運用．