Question

13．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點，以BD為直徑作⊙O，交邊AB于點P，連接PC交AD于點E，且AE=DE．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若DE=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OP、PD，首先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出AD⊥BC，根據(jù)圓周角定理得出DP⊥AB，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質得出PE=DE，根據(jù)等邊對等角得出∠EPD=∠EDP，同理證得∠OPD=∠ODP，即可證得∠OPC=∠ADB=90°，從而證得PC是⊙O的切線；
（2）設BC=x，則CD=$\frac{1}{2}$x，OC=$\frac{3}{4}$x，OP=$\frac{1}{4}$x，根據(jù)勾股定理求得PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，然后根據(jù)△OPC∽△EDC，對應邊成比例求得BC=12$\sqrt{2}$，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．

解答 （1）證明：連接OP、PD，
∵BD是直徑，
∴DP⊥AB，
∵AE=DE，
∴PE=DE，
∴∠EPD=∠EDP，
∵OP=OD，
∴∠OPD=∠ODP，
∴∠OPD+∠EPD=∠ODP+∠EDP，
即∠OPC=∠ADB，
∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠OPC=∠ADB=90°，
∴PC是⊙O的切線；
（2）設BC=x，則CD=$\frac{1}{2}$x，OC=$\frac{3}{4}$x，OP=$\frac{1}{4}$x，
∴PC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠OPC=∠EDC=90°，∠OCP=∠ECD，
∴△OPC∽△EDC，
∴$\frac{OP}{PC}$=$\frac{DE}{DC}$，即$\frac{\frac{1}{4}x}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}x}$，
解得x=12$\sqrt{2}$，
∴BC=12$\sqrt{2}$，
∵AE=DE=3，
∴AD=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$12\sqrt{2}$×6=36$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的判定，圓周角定理的應用，勾股定理的應用，等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．