Question

2．已知方程x²-6x+7=0的兩個根是一個直角三角形的兩條直角邊的邊長，求這個直角三角形斜邊上的高．

Answer 1

分析 設方程x²-6x+7=0的兩根分別為m、n，由根與系數的關系可得出m+n=6、mn=7，進而可得出斜邊長$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的值，再利用面積法即可得出直角三角形斜邊上的高．

解答 解：設方程x²-6x+7=0的兩根分別為m、n，
則m+n=6，mn=7，
∴斜邊邊長為$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（m+n）^{2}-2mn}$=$\sqrt{22}$，
由面積法得：斜邊上的高為$\frac{mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{（3-\sqrt{2}）×（3+\sqrt{2}）}{\sqrt{22}}$=$\frac{7\sqrt{22}}{22}$．
答：直角三角形斜邊上的高為$\frac{7\sqrt{22}}{22}$．

點評 本題考查了根與系數的關系以及三角形的面積，借助根與系數的關系找出斜邊長度是解題的關鍵．